Analema lui Vitruviu (II)

Analema lui Vitruviu construită pentru Cluj-Napoca

Din figura geometrică a lui Vitruviu prezentată în articolul anterior putem extrage câteva elemente astronomice importante.

I) Construcția unei linii meridian pentru ora amiezii, având o componentă de calendar solar pentru solstiții și echinocții

În primul rând, triunghiul ABC, în care AB joacă rolul unui gnomon înfipt vertical în B, codifică principalele elemente de localizare geografică. Astfel, unghiul <BAC reflectă latitudinea locului, iar unghiul complementar <ACB  înălțimea ecuatorului ceresc NF deasupra orizontului. Să ne amintim apoi că cercul mare reprezintă o secțiune de-a lungul meridianului locului, cu E la sudul și I la nordul geografic, iar corzile paralele LG și KT sunt de fapt proiecțiile în plan pentru tropicul racului, respectiv a capricornului, hotare unde astrul zilei atinge declinația maximă pozitivă, respectiv negativă din an față de ecuatorul ceresc (<LAN=<KAN=circa 24 grade). Cu alte cuvinte, soarele se va găsi la solstițiul de vară pe direcția AL, iar la cel de iarnă pe AK. Lungimea umbrei gnomonului la aceste două momente transpare în desen prin segmentele BR, respectiv BT, în vreme ce la echinocții, când soarele se găsește în planul ecuatorului ceresc AN, lungimea umbrei va fi egală cu BC. Să reținem un lucru important și anume că aceste lungimi sunt valabile doar la momentul culiminației solare superioare (amiază), pentru că figura noastră redă o secțiune meridională (planul nord-sud). Avem aici toate elemente necesare realizării unei linii meridian tip calendar solar, o categorie aparte de cadran solar, în care direcția nord-sud geografică a umbrei marchează amiaza, iar variația ei în lungime măsoară curgerea anuală a timpului prin raportare la principalele evenimente astronomice solare din an: sostițiile și echinocțiile. Ca o paranteză, asemenea linii meridiane au fost propuse a se construi în cetatea Oradea de către regretatul prof. Marin-Dacian Bica și la Alba Iulia de către mine, ambele localități având un trecut important în ceea ce privește istoria astronomiei în România. Realizarea acestor piese nu ar trebui să pună probleme tehnice deosebite.

II) Construcția unei linii meridian pentru ora amiezii, având o componentă de calendar solar pentru orice zi din an

Mai sus am văzut cazul unei linii meridiane pe care sunt marcate momentele solstițiilor și echinocțiilor pe baza înălțimii variabile a soarelui deasupra orizontului la amiazi (de fapt, a variației sale anuale de declinație între -23,4 grade și + 23,4 grade deasupra ecuatorului), fapt ce dă naștere la umbre cu lungimi diferite în cursul anului. Cum ar trebui însă procedat pentru a marca pe linia meridiană intrarea soarelui în anumite zodii sau fixarea în timp a unei anumite date calendaristice importante din an (de exemplu o sărbătoare sau ziua cuiva de naștere) pe baza lungimii umbrei? Ne vom folosi pentru asta de cercul cercul lunilor botezat menaeus, pe care vom construi roata zodiilor. Vom împărţi circumferinţa în 12 felii egale corespunzătoare zodiilor din an, pornind de la solstițiul de vară G sau cel de iarnă H, cunoscând faptul că în acele zile soarele intră în zodia Rac (22 iunie), respectiv Capricorn (22 decembrie). Sensul în care parcurgem cercul pentru a face aceste însemnări nu contează; el poate fi orar sau antiorar.

Acum să presupunem că vrem să aflăm lungimea umbrei la amiaza zilei de 20 februarie, la intrarea soarelui în zodia Pești. Din punctul ce marchează pe menaeus începutul zodiei respective vom duce o perpendiculară pe axa lumii PQ (altfel spus o paralelă la ecuatorul ceresc), iar punctul de intersecție obținut pe cercul meridian îl vom proiecta pe suprafața orizontală prin A, găsind astfel lungimea căutată a umbrei prin măsurare din B. Din desen mai observăm un lucru important: pentru fiecare zi din an există o zi-pereche, în care soarele revine la aceeași declinație și umbra capătă aceeași lungime. Așadar, pe linia noastră meridiană intrarea în zodia Pești (februarie/martie) de exemplu va coincide cu intrarea în zodia Scorpion (octombrie/noiembrie), deși ele se află la 3-4 luni distanță în calendar.

Iată un exemplu de linie meridiană cu zodii aflată în interiorul Domului din Milano (Italia). Ea constă dintr-o inserție de cupru încastrată în pardoseala edificiului. La momentul amiezii, pe această linie se proiectează un spot luminos care ia naștere din pătrunderea razelor solare printr-un orificiu situat pe peretele din spate, undeva la înălțime. Cele două placi de marmură albă prevăzute cu pictograme marchează locul intrării spotului luminos (deci și a soarelui) în zodiile Berbec și Balanță.

Linia meridiană de la Domul din Milano, Italia

Cunscând că zodiile se întind pe 30 grade și durează circa 30 de zile fiecare, putem aproxima că soarele avansează zilnic pe roata zodiilor cu circa un grad.  De exemplu, poziția pentru 1 februarie ar corespunde unui punct pe cerc decalat înspre Vărsător cu 20 de grade față de începutul Peștilor. Această observație ne permite să stabilim cu bună aproximație lungimea umbrei pentru orice zi din an.

III) Construcția unui cadran solar pentru toate orele zilei, având și o componentă de calendar solar pentru solstiții și echinocții

Înainte să descoperim modul în care analema vitruviană poate fi folosită în alcătuirea unui cadran solar care să indice toate orele zilei, trebuie să precizăm că la un asemenea tip constructiv timpul se citește prin poziția vârfului umbrei și nu prin direcția sa.

Să ne reamintim acum funcțiunea semicercurilor LG și KT, cu centre în M, respectiv O, și raze egale ML=OK. Vitruviu le numește hemicyclium aestivum, respectiv hemicyclium hibernum. Primul, semicercul de vară, reprezintă abia jumătate din traseul diurn al soarelui la solstițiul de vară, celălalt, semicercul de iarnă, jumătate din traseul soarelui la solstițiul de iarnă (12 ore din cele 24 cât are o zi). O parte din călătoria soarelui (orele de zi) se va desfășura deasupra orizontului (linia EI), iar o altă parte (orele de noapte) sub orizont. Răsăritul și apusul soarelui vor constitui punctele de demarcație între aceste două perioade.

Imaginați-vă acum că ridicați semicercurile LG și KT din planul hârtiei și că le aduceți într-un plan perpendicular pe acesta. Ele vor intersecta planul orizontului EI în două linii, la capătul cărora pe orizont se vor afla punctele de răsărit și apus. Pentru a determina pozițiile lor pe semicercurile diurne vom duce așadar perpendiculare pe LG și KT în S, respectiv V, obținând punctele de intersecție S', respectiv V'. Interpretarea desenului obținut mai jos este următoarea:
-la solstițiul de vară, pentru jumătate de zi, adică jumătatea intervalului dintre culminația solară superioară L și cea inferioară G, soarele răsărind/apunând în S va descrie deasupra orizontului arcul LS' (ziua) și sub orizont arcul S'G (noaptea).
-la solstițiul de iarnă, pentru jumătate de zi, adică jumătatea intervalului dintre culminația solară superioară K și cea inferioară T, soarele răsărind/apunând în V va descrie deasupra orizontului arcul KV' (ziua) și sub orizont arcul V'T (noaptea).

Pentru a găsi poziția ocupată de soare la fiecare oră pe aceste două semicercuri le vom împărți în 12 arce egale, corespunzătoarele orelor timpului solar, în care soarele culminează mereu la 12. Atenție așadar, aceste poziții nu vor coincide cu orele legale indicate de ceasul comun! Să mai observăm că pozițiile S' și V' nu au nimic în comun cu punctele celor 12 diviziuni deși pentru cazul studiat de noi ele se nimeresc să fie foarte apropiate.

O mică paranteză. Mai sus am desenat doar semicercurile pentru solstiții, dar trebuie spus că putem reprezenta traseul solar pentru orice zi din an ajutându-ne de menaeus (vezi explicațiile de la punctul II). Iată de exemplu semicercul diurn pentru 20 februarie, la intrarea soarelui în zodia Pești. Arcul va avea centrul în punctul X și raza egală cu XY.

După cum spuneam mai sus, din analemă se pot extrage fără dificultate toate elementele necesare realizării unei linii meridian: ştim că direcția umbrei la amiază urmează linia nord-sud EI, iar lungimea ei o putem prelua din desen în funcție de anotimpuri. O astfel de linie meridiană poate măsura numai ora amiezii, dar dacă, de pildă, se dorește realizarea unui cadran solar orizontal cu gnomon perpendicular care să indice întregul evantai orar al zilei de la răsărit și până la apus, provocarea nu va mai fi atât de simplă. Căci pe lângă lungimea umbrei la amiază vom avea nevoie și de cea pentru restul orelor, ba chiar mai mult: va trebui să le cunoaștem și direcția. Lungimea umbrei va depinde de înălțimea soarelui deasupra orizontului, iar direcția de azimutul soarelui la ora respectivă. Vom împărți așadar problema în cele două componente urmând să le rezolvăm pas cu pas.

A) Stabilirea lungimii umbrei la alte ore din zi decât amiaza

Am văzut deja că lungimea umbrei la amiaza solstițiului de vară este egală cu segmentul BT. Să presupunem acum că ne interesează lungimea umbrei nu la amiază, ci cu patru ore înainte de acest moment (ora 8 timp solar adevărat). Mai întâi vom număra de la amiaza L 4 din cele 12 puncte echidistante pe semicercul diurn LG găsind astfel punctul orar 8. Pentru determinarea umbrei este necesar să efectuăm două proiecții în plan. Mai întâi vom aduce punctul 8 de pe arcul diurn în planul hârtiei trasând perpendiculara 8 8' pe coarda LG. Apoi, întrucât analema permite stabilirea lungimii umbrelor doar pentru poziții solare aflate în planul meridian, va trebui să găsim pe cerc punctul aflat la aceeași înălțime deasupra orizontului ca 8'. Pentru asta vom trasa din 8' o paralelă cu orizontul EI intersectând cercul meridian în 8''. În final vom uni acest punct cu vârful gnomonului A pentru a simula o rază luminoasă. Intersecția ei cu suprafața orizontală ne va da lungimea căutată pentru umbra orei 8. Același rezultat l-am obține și pentru ora 16, adică cu patru ore după momentul amiezii, deoarece pozițiile lor sunt dispuse simetric în jurul mijlocului zilei.

B) Stabilirea direcției umbrei la alte ore din zi decât amiaza

Chiar dacă transformările noastre geometrice din pasul A au adus ora 8 în planul meridianului pentru a ne putea dezvălui lungimea umbrei, ele nu ne spun nimic despre direcția spre care indică umbra. Aceasta poate fi îndreptată deocamdată oriunde, având vârful pe un cerc al posibilităților cu raza B8''' în jurul bazei B. În desenul următor am translatat B în B' pentru claritate. Construcția ajutătoare de sub cercul meridian prezintă o vedere de sus a cadranului, cu gnomonul așezat în B'. Pentru a rezolva problema direcției umbrei vom duce o dreaptă din 8' prin vârful gnomonului A. Intersecția ei cu suprafața orizontală, translatată în desenul ajutător relevă cele două puncte-candidat de pe cercul posibilităților în care umbra se poate afla la ora 8. Alegerea unuia sau altuia depinde de punctele cardinale și de orientarea desenului. Nordul fiind în dreapta și soarele găsindu-se dimineața înspre est (jos) vom alege punctul dinspre vest (sus) pentru că umbra indică mereu în direcția opusă soarelui.

Prin descompunere pe lungime și direcție, procedăm la fel pentru toate orele zilei-lumină (adică toate cele aflate pe arc deasupra răsăritului S', respectiv V') atât la solstițiul de vară cât și la cel de iarnă, după care unim punctele orare obținute în fiecare caz. Pentru simplitate noi am exclus din desen orele extreme, în care umbra devine oricum difuză. Cele două curbe rezultate, denumite solstițiala de vară (aestiva) și solstițiala de iarnă (brumalis) reprezintă de fapt traseul umbrei în zilele de solstițiu. Solstiţiala de vară va avea partea concavă orientată spre baza gnomonului, solstiţiala de iarnă pe cea convexă. Pentru echinocții, când soarele se află pe ecuatorul ceresc, se observă că descompunerea pe direcție a oricărui punct orar se suprapune tot peste ecuatorul ceresc, deci vârful umbrei va rămâne mereu pe linia coborâtă din C numită echinocțială (aequinoctialis). Aceste linii de marcaj sezonier mai poartă numele de menstre. În cazul nostru am ales sa avem doar trei, dar cadranele mai complexe pot cuprinde menstre pentru toate cele 12 zodii sau chiar pentru zile-cheie (vezi punctul II).

Pentru a finaliza faţa cadranului, unim orele de pe cele două solstițiale prin linii. Intersecția lor cu echinocțiala dezvăluie poziția vârfului umbrei pentru fiecare oră în zilele de echinocții, de fapt, pentru orice zi intermediară din an. Am obținut un cadran solar tip pelekinon care seamănă cu o secure dublă.

Acum nu avem decât să amplasăm în centrul cercurilor un gnomon vertical tip tijă având aceeași înălțime ca segmentul AB din analemă (în cazul de față 16 cm) și să îl testăm.

În simulare se poate observa că vârful umbrei nu atinge perfect curbele solstițiale. Care e motivul? Să ne amintim că la construcția analemei am lucrat cu valoarea vitruviană rotunjită pentru înclinația axei terestre (24 grade vs. 23,4 grade), adică am supraestimat înălțimea soarelui vara și am subestimat-o iarna cu ceva mai mult de un diametru solar (0,6 grade). În schimb problema nu apare la echinocții, atunci când declinația solară se anulează.

Închei acest material cam lung cu fotografia unui pelekinon modern spectaculos din regiunea germană Ruhr, pe care l-am vizitat anul trecut. Cadranul solar respectiv are 62 m diametru și este înzestrat cu un obelisc de oțel de 8,5 m înălțime.

Cadranul solar tip pelekinon de la Halda Hoheward (Ruhr, Germania)