Construcţia curbelor calendaristice pe cadranele solare

Curbe calendaristice și linii orare pe cadranul solar monumental
de la intrarea în Muzeul Galileo, Florența.

Un cadran solar poate fi utilizat nu numai la determinarea orei, ci şi la aflarea datei calendaristice. Pentru aceasta se aleg anumite momente reper din an care se transpun pe suprafaţa propriu-zisă a cadranului sub forma unor marcaje curbilinii. Pentru a nu aglomera excesiv afişajul, deseori se preferă alegerea doar a solstiţiilor şi echinocţiilor ca momente anuale importante de hotar solar: solstiţiile desemnează începutul verii/iernii, fiind cele mai lungi respectiv cele mai scurte zile din an, în vreme ce echinocţiile stabilesc începutul primăverii/toamnei, când ziua este considerată egală cu noaptea. Vedem aşadar că nu doar orele sunt legate de lumina soarelui, ci şi unităţile mai mari de timp ale anului, precum zodiile, lunile sau anotimpurile. În primul caz, corespondenţa dintre soare şi oră este dată de azimutul şi înălţimea astrului zilei deasupra orizontului local, iar în cel de-al doilea de variaţia anuală a declinaţiei solare, adică înălţimea sa schimbătoare deasupra planului ecuatorului terestru.

După cum ştim, pământul se învârte în jurul unei axe imaginare înclinate cu circa 23,5 grade faţă de planul orbitei în jurul soarelui (ecliptica), păstrând mereu aceeaşi orientare în spaţiu. Ca urmare, la solstiţiul de vară spunem că emisfera noastră se înclină cel mai mult spre soare, iar la cel de iarnă cel mai puţin. Vara soarele ajunge la 23,5 grade deasupra ecuatorului terestru, iarna la 23,5 grade dedesubt, în vreme ce la echinocţii, când razele cad perpendicular pe axa terestră, declinaţia soarelui se anulează (devine 0). Înălţimea arcului diurn parcurs de soare pe cerul nostru se modifică deci zi de zi şi, în corespondenţă, arcul zilnic descris pe pământ de umbrele obiectelor variază şi el cu aceeaşi regularitate. Privind lucrurile în mişcare, putem afirma că razele care trec pe deasupra unui punct expus la soare (vârful unei tije sau a gnomonului) în decursul a 24 de ore formează un con circular drept cu vârful în acel punct şi axa conului înclinată faţă de orizonală cu un unghi care să coincidă cu înclinarea axei terestre sau latitudinea locului (desigur, soarele va coborî la un moment dat sub orizont, iar conul va rămâne incomplet). Prin intersecţie cu o suprafaţa pe care se proiectează lumina (planul orizontului) şi deci şi umbra în cursul zilei, conul rezultat dă naştere la o curbă calendaristică proprie acelei date. De pildă, iată conul pentru ziua solstițiului de vară.

Conul de umbră pentru solstițiul de vară

Dincolo de solstițiul de vară, unghiul din vârful conului se crește în fiecare zi, atingând 180 de grade la echinocţiul de toamnă, atunci când practic conul dispare cu totul pentru că razele soarelui cad perpendicular pe axa terestră. Intersecţia cu suprafaţa de recepţie a luminii nu va mai fi atunci o curbă, ci o linie dreaptă (aşa-zisa echinocţială). Altfel spus, deşi ar putea să pară bizar, în cursul zilelor de echinocţii vârful umbrelor obiectelor urmează un parcurs liniar, spre deosebire de restul anului când ele se succed pe curbe de concavităţi sau convexităţi diferite. Unghiul din vârful conului scade iarăși la un minim cu ocazia solstițiului de iarnă.

Să reţinem faptul că aceste curbe calendaristice sunt specifice dimensiunilor obiectelor care le generează (în cazul de mai sus, vârfului tijelor). Aşadar, pentru două cadrane solare din aceeaşi localitate, dar cu tije de lungimi diferite, curbele de declinaţie solară nu vor coincide, chiar dacă dispunerea marcajelor lor orare va fi una şi aceeaşi. Bineînţeles că în loc de vârf se poate adopta un alt element de reper pentru citirea datei, cum ar fi umbra produsă de o ingroşare a tijei (o inserţie sferică sau un decupaj în muchie).

Construcţia curbelor calendaristice pentru un cadran solar orizontal se poate efectua grafic în modul următor:

1)  Se trasează o linie orizontală pe care se desenează tija cadranului în plan meridional (nord-sud), la un unghi egal cu latitudinea locului (în desen 47 grade) şi în lungimea CV dinainte stabilită. C este centrul liniilor orare, iar V vârful tijei.

2) Din V se duce o dreaptă perpendiculară pe tijă. Ea reprezintă traiectul razei de lumină la echinocţii, aflându-se în planul ecuatorului terestru. Intersecţia E marchează pe suprafaţa orizontală locul vârfului umbrei la echinocţii. Deasupra şi dedesubtul ei se duc alte două drepte, la unghiuri de câte 23,5 grade. Ele intersectează suprafaţa orizontală în Sv - poziţia vârfului umbrei la amiaza solstiţiului de vară şi Si - poziţia vârfului umbrei la amiaza solstiţiului de iarnă.

3) Se alege un punct P situat între Sv şi C, din care se urcă o perpendiculară pe tija CV. În punctul de intersecţie M se construieşte cercul cu raza egală cu cea a bazei conului circular drept haşurat în imagine. Se măsoară apoi lungimea corzii dusă prin P, paralelă cu tija.

4) Toate construcţiile ajutătoare de până aici s-au realizat exclusiv în planul meridional (cadranul şi tija privite din lateral). Schimbând acum registrul, vom adopta un plan orizontal care ne va permite redarea aspectului cadranului propriu-zis privit de sus. Pentru aceasta e suficient să coborâm punctele obţinute în paşii mai sus pe o altă dreaptă orizontală, demarcată prin ora XII timp solar adevărat al localităţii. Aceasta va alcătui axa de simetrie a cadranului nostru. Pornind din C vom desena liniile orare după una din metodele descrise anterior.

5) Echinocţiala, sau locul geometric al poziţiei vârfului tijei la echinocţii, va fi o linie dreaptă dusă prin E şi perpendiculară pe linia orei XII. După cum am văzut mai sus, în restul anului umbrele vor evolua pe curbe de convexităţi şi concavităţi diferite. Aici ne vom limita doar la stabilirea curbei solsiţiale de vară, respectiv iarnă. Din secţiunea meridională ştim că lungimea minimă a umbrei la amiza solstiţiului de vară (când soarele este cel mai sus pe cer) este egală cu lungimea segmentului CSv. Similar, lungimea minimă a umbrei la amiaza solstiţiului de iarnă (iarăşi, când soarele este cel mai sus pe cer) este egală cu lungimea segmentului CSi. Cu alte cuvinte, traiectoria umbrei în cele două zile din an va lua forma unor curbe cu vârfurile situate în punctele respective, una convexă şi cealaltă concavă. Pentru a desena forma lor, vom coborî punctul P din secţiunea meridională aducându-l în planul orizontal. Se obţin astfel două puncte simetrice de-o parte şi de alta a liniei XII, pe care le stabilim la o distanţa egală cu coarda măsurată la punctul 3. Alături de vârful Sv, cele două puncte P1 şi P2 ne permit desenarea curbei solstiţiale de vară. Hiperbola solstiţială de vară va fi simetrica ei, pornind din Si.

Iată şi o altă metodă de lucru care presupune proiecţia conului de umbră în plan lateral:

1) Se desenează verticala orei XII, timp solar adevărat al localităţii. În capătul C se prevede tija polară de lungime CV, cu unghiul din C egal cu latitudinea locului.

2) Prin vârful V se duce o dreaptă perpendiculară pe tijă şi alte două înclinate faţă de prima la unghiuri de + respectiv - 23,5 grade. Ele vor fi liniile de declinație solară 0, respectiv +23,5 grade și -26,5 grade. Intersecţia lor cu linia orei XII va da punctele Sv, E şi Si, adică poziţia vârfului umbrei la amiza zilei solstiţiului de vară, a echinocţiilor şi a solstiţiului de iarnă.

3) Echinocţiala va fi o dreaptă perpendiculară pe linia XII în punctul E. Ea intersectează și celelalte liniile orare în puncte precum E8 sau E10 (liniile orare se consideră date).

4) Acum trebuie să identificăm punctele de reper ale curbelor solstiţiale pentru alte ore din zi decât amiaza. Vom exemplifica numai pentru curba solstițială de vară în cazul orelor VIII și X, procedeul fiind însă mereu același. Folosind un compas cu acul în C se translatează punctul E8 până la intersecţia W cu linia de declinaţie solară 0 (perpendiculara pe tijă). CW intersectează linia de declinaţie solară +23,5 grade în Z. Tot cu compasul, se translatează Z înapoi pe linia orară VIII alcătuind punctul Sv8 căutat. Similar pentru ora X: din E10 transpunem până la intersecția X și din Y înapoi spre linia orară până în punctul Sv10 căutat. Hiperbola formată de punctele obținute reprezintă solstițiala de vară.

În cazul unui cadran solar vertical metoda de mai sus se poate aplica doar dacă peretele este îndreptat spre sud (declinaţie 0), luând ca măsură în C unghiul de co-latitudine (90 grade-latitudine).