O metodă grafică veche de desenare a orelor pe cadranele solare verticale sau orizontale

Vom reda pașii metodei inspirându-ne din lucrarea artistului Albrecht Dürer. Aproape de sfârșitul vieții, acesta a publicat un set de patru volume numite Underweysung der Messung mit Zirckel and Richtscheyt in Linien, Ebnen und gantzen Corporen ("Tratat despre măsurarea cu compasul și rigla în linii, planuri și corpuri întregi"), care au apărut la Nürnberg în 1525 și în care discuția despre cadrane se găsește în cartea a treia. Metoda grafică presupune mai întâi realizarea unei construcții ajutătoare (un cadran solar ecuatorial, cercul din imaginea de mai sus), urmând a ne folosi de proiecția geometrică a punctelor sale orare la determinarea marcajelor pentru cadranele solare verticale sau orizontale propuse a fi realizate.

1) Se construiește mai întâi un triunghi dreptunghic ABC cu unghiul drept în B și unghiul ascuțit de la bază din A egal cu latitudinea locului (în cazul de față 47 grade). Se desenează apoi perpendiculara BD din unghiul drept pe ipotenuză. Ne imaginăm că triunghiul reprezintă următoarele elemente văzute în secțiune din lateral:
- cateta AB = planul orizontal (al orizontului)
- cateta BC = planul vertical (al peretelui)
- unghiul drept ABC = linia de intersecție între cele două planuri perpendiculare
- ipotenuza AC = direcția axei terestre
- perpendiculara BD dusă pe ipotenuza = ecuatorul ceresc, totodată planul cadranului solar ecuatorial (construcție ajutătoare)
Triunghiul ne va da dimensiunea lor, necesară la pașii următori.

2) Se desenează cadranul ajutător în planul ecuatorial: un cerc cu centrul în D și raza DB. Se duce o tangentă la cerc prin B și din acest punct (care reprezintă amiaza sau ora XII) cele 360 de grade ale cercului ecuatorial se împart în 24 felii egale a câte 15 grade, corespunzătoare numărului de ore dintr-o zi (un retur al soarelui pe cer), cu orele dimineții în stânga lui XII și cele ale după-amiezii în dreapta. Prelungirea razelor obținute înțeapă tangenta din B, care este tocmai linia de intersecție a planurilor, generând pe aceasta punctele orare folosite la construcția cadranelor în faza următoare.

3) Se trece acum în planul peretelui (BC) unde va fi cadranul solar vertical. Păstrăm cadranul ecuatorial ajutător, pe care ni-l închipuim împins în jos până la verticală, prin pliere de-a lungul tangentei care trece prin B. În punctul C se desenează un cerc de rază egală cu cateta CB. Centrul se unește cu punctele orare de pe pliu obținute la pasul anterior. Linia orelor VI va fi perpendiculara dusă prin C pe linia amiezii XII. Astfel, marcarea orelor se poate considera finalizată întrucât cadranul vertical nu poate afișa timpul dincolo de semicercul inferior. Pentru a funcționa în mod corect, acest cadran trebuie obligatoriu amenajat pe un perete cu declinație zero, adică cu o expunere precisă spre sud.

4) Pentru a desena cadranul orizontal ne vom muta în planul catetei AB. Păstrăm construcția ecuatorială anterioară, pe care ne-o închipuim rabatată în spate și adusă la orizontală iarăși prin pliere de-a lungul tangentei care trece prin B. În punctul A se desenează un cerc de rază egală cu cateta AB. Centrul se unește cu punctele orare de pe pliu obținute la pasul 2. Linia orelor VI va fi perpendiculara dusă prin A pe linia amiezii, iar celelalte ore se pot obține prin prelungirea razelor existente înspre jumătatea inferioară. Cadranul orizontal, spre deosebire de fratele său vertical, este capabil să indice timpul de la răsărit și până la apus.

5) Precum piesele lui Dürer, cadranele obținute mai sus vor măsura timpul solar al localității, în care soarele culminează pe cer mereu la ora 12. Putem însă alege să realizăm și cadrane ce afișează timpul solar adevărat prin raportare nu la meridianul local, ci de pildă la meridianul de referință al fusului est-european de care aparține și România (adică ora 12 va corespunde culminației solare pe meridianul orar referință). Astfel, timpul lor va fi cu mult mai apropiat de cel al ceasurilor "normale", ecartul temporal fiind limitat la doar 16 minute, reprezentând valoarea anuală extremă pentru ecuația timpului (neglijând trecerea la ora de vară). Pentru aceasta va trebui să aducem o mică modificare la cercul ecuatorial ajutător folosit în metoda noastră, și anume vom deplasa pe cerc punctul de referință de la care începe împărțirea în felii (amiaza sau ora XII) în stânga sau în dreapta verticalei, după măsura în care meridianul de referință al fusului orar se abate față de meridianul locului nostru. De exemplu, Cluj-Napoca se află la 23,5 grade longitudine estică, adică cu aproape 6,5 grade spre vest față de meridianul de referință al fusului orar în vigoare (30 de grade est). Prin urmare, vom roti pe cerc poziția orei 12 (notată acum cu cifre arabe) spre stânga cu 6,5 grade, această poziție reprezintând meridianul de referință. Am rotit spre stânga și nu spre dreapta, pentru că amiaza noastră locală (verticala) este întârziată față de meridianul fusului. De aici încolo, construcția liniilor orare pentru cele două cadrane poate decurge fără probleme deosebite conform metodei prezentate mai sus.

Într-un articol viitor vom exemplifica metoda matematică de construire a cadranelor solare, când vom deduce și formula de aur pentru această știință frumoasă.

Gnomonica Fundamentalis

Una dintre puținele cărți de la BCU Cluj care tratează subiectul cadranelor solare poartă cota CV16 şi se se poate consulta la etajul 1 în Sala Colecții Speciale. Volumul a fost scris de matematicianul german Johann Friedrich Penther (1693-1749) şi a apărut în 12 ediții între anii 1733 și 1768, exemplarul bibliotecii aparținând ultimei reeditări. Pe dosul copertei am găsit lipită o pecete cu vechiul însemn al instituției clujene.

Cartea, puţin mai mare decât formatul A4, poartă titlul complet "Gnomonica Fundamentalis & Mechanica worinnen gewiesen wird, wie man sowol gründlich, als auf mechanische Art/ allerhand Sonnen-Uhren regulaire, irregulaire, mit Minunten und himmlischen Zeichen/ auf allerhand Flächen, sie mögen gleich oder höckericht, beweglich oder unbeweglich seyn, verfertigen solle. Wozu noch eine neue Invention einer Universal-Sonnen-Uhr kommt, welche ohne Magnet-Nadel zu stellen, selbst die wahre Mitternachts-Linie, und Abweichung aller Wände von denen Haupt-Plagis Mundi, wie auch Elevationem Poli bey Tage anzeiget, und zu Solvirung noch anderer Problematum dienet", adică încercând o traducere "Fundamentele și mecanismele gnomonicii, în care se prezintă temeinic modul de construire mecanică a cadranelor solare obișnuite, neobișnuite, cu gradații la minut și cu simboluri cerești, pe toate felurile de suprafețe, indiferent dacă sunt simetrice sau asimetrice, portabile sau fixe. La care se mai adaugă o nouă invenție de cadran solar universal, care, fără așezarea cu compas, permite afișarea liniei de miazănoapte și declinația tutoror pereților față de sferturile lumii, precum și înălțimea polului pe timpul zilei, servind și la rezolvarea altor probleme".

Pe pagina de titlu a exemplarului de la Cluj există o însemnare olografă pe care nu am putut-o descifra în întregime, dar care se încheie cu datarea Ano 1787.

Textul lucrării este scris în germană cu litere gotice şi necesită o parcurgere atentă. În schimb, mi-au reținut atenţia planşele tehnice de la sfârşitul lucrării, frumos şi clar realizate, dar şi misterioasa gravură de titlu. În partea superioară, ursul cu coada îndreptată în sus reprezintă Ursa Mică (Carul Mic). Legătura dintre această grupare stelară și ştiinţa cadranelor solare este dată de Steaua Polară, astrul principal din constelație care dă direcția tijei indicatoare pentru ceasurile solare. Mai jos este scris HINC NASCITUR ORDO, adică în traducere ASTFEL SE NAȘTE ORDINEA LUCRURILOR. Dr. Sara Schechner de la Universitatea Harvard îmi arată într-o corespondenţă că citatul era folosit în trecut pentru a evidenția potenţa unui zeu sau al unui conducător, având conotaţia de "el dă naștere la ordinea lucrurilor" sau "ordinea provine din el." Aici puterea revine fără îndoială astrului zilei. Un soare strălucitor își revarsă razele asupra lui Atlas, figura titanului mitologic ce poartă pe umeri bolta cerească, redată sub forma un cadran solar sferic, cu orele marcate pe banda ecuatorială. HORA RVIT de pe frontonul clădirii înseamnă ORA SE SCURGE. Animalele cocoțate pe edificiu în stânga și dreapta imaginii (fiare solare, poate lei?) își feresc privirile de strălucirea soarelui, purtând fiecare câte un cadran solar vertical: după orientarea tijelor deducem că cel din stânga este meridional (cu expunere sudică), iar cel din dreapta septentrional (cu expunere nordică). Titlul lucrării apare scris pe o scoică în partea inferioară. Ea încorporează un cadran solar vertical cu declinație.

Pe Internet preţul pentru un exemplar similar este de 580 euro. Ediția din 1760 poate fi citită gratis aici http://digi.ub.uni-heidelberg.de/diglit/penther1760

Penther este de asemenea autorul unui interesant cadran solar multiplu constând în 12 piese, amplasat într-o grădină barocă lângă Wolfenbüttel (Germania centrală).

Romanța soarelui

Romanţa soarelui

Răsar,
Mă-nalţ,
Cobor
Şi-apoi dispar,
Şi-apusul meu e totuşi răsărit...
Sunt vagabondul zilei de-a pururi solitar -
Portret unic şi veşnic, expus în infinit.

Cu magica-mi baghetă uriaşe -
Stăpâna hotărârilor eterne -
Deştept măturătorii albelor oraşe
Şi-adorm întârziaţii negrelor taverne...

Dau fluviilor graţii de reptile,
Dau mărilor priviri fosforescente,
Iar munţilor din zare, aspecte de gorile,
Şi brazilor, pe coaste, poziţii indecente.

Dau fructe noi smochinilor uscaţi,
Dau bronzului figură omenească,
Iar Regilor -
Pe socluri de marmură-nşiraţi -
Poruncitoare gesturi, ca-n veci să poruncească.

Iar când cobor,
Când calda-nfiorare
Se zbate-n cupa recelui repaos,
Azvârl sămânţă nouă în vechile tipare
Şi-ascult Perpetuarea cum fredonează-n haos!...

 Versuri de Ion Minulescu

Proiectarea unui calendar solar în Cetatea Oradea

Articolul extrem de interesant (sursa) pe care îl redau mai jos a fost scris de regretatul prof. Marin-Dacian Bica (1970-2013), care propunea încă din 2008 realizarea unei linii meridiane/calendar solar în vechea cetate din Oradea drept mărturie a importanței acestui centru în astronomia renascentistă europeană. Aici a funcționat celebrul Meridian Zero între 1464-1667.

Marin-Dacian Bica - Proiectarea unui calendar solar in cetatea din Oradea by cerculdestele

O mică paranteză: în 2012 se dorea amplasarea unei sculpturi care să comemoreze vechiul Meridian Zero, dar din ce știu eu (orădenii să mă corecteze!) până în prezent inițiativa nu s-a realizat. Lucrările de restaurare a cetății, începute pe fonduri europene în 2010 și programate a se finaliza în decembrie 2015, ar fi oportunitatea ideală pentru a transpune în realitate atât proiectul prof. Bica, cât și sculptura a cărei machetă poate fi văzută mai jos.

Macheta monumentului Meridian Zero Oradea. Sursa. 

Apus de soare și simboluri luni-solare în Piața Avram Iancu din Cluj-Napoca

27 octombrie 2015, ora 17:02 (TLR). Soarele dă să apună pe direcția Bulevardului Eroilor,
axa de legătură între principalele două scuaruri clujene

Simularea poziției soarelui, a punctelor de răsărit și apus
și a arcului diurn pentru 27 octombrie (ora 17:02).

Acoperitoare metalică cu simboluri luni-solare pe clădirea Regionalei CFR din Cluj-Napoca

Badea Mihai citește în gromovnic

Vă mai amintiți de ciobanul astronom din Budești (Maramureș) dezvăluit prin proiectul "Constelații românești tradiționale"? Ei bine, ieri am găsit un material similar în patru părți cu un senior de 84 de ani din județul Iași care ne povestește despre ce este și cum se folosește un gromovnic. Mi-a plăcut mai ales discuția de la început prin care bătrânul ne spune că trebuie "căutată luna pe cer", nu în calendar, adică în stabilirea previziunilor trebuie lucrat cu datele din calendarul pe stil vechi. De exemplu, timpul gromovnicului mergând după calendarul iulian, "lumina de pe cer" are un decalaj de 13 zile față de calendarul nostru . Savurați fiecare clipă din acest material-document!

Alinierea gnomonului după Steaua Polară

Pentru a funcționa corect, tijele cadranelor solare trebuie să urmărească întocmai orientarea axei de rotație a pământului, cu alte cuvinte este necesar ca ele să fie amplasate în plan vertical pe direcția nordului geografic și să fie înclinate față de orizontală la un unghi care să corespundă latitudinii locului. Erori oricât de mici au un impact major asupra exactității măsurării timpului, o abatere de numai jumătate de grad producând spre exemplu o discrepanță de câteva minute în timpul afișat. Prin urmare, stabilirea corectă a direcției nordului geografic capătă o importanță crucială în demersul de realizare a unui cadran solar. De la bun început trebuie să precizăm că există o diferență importantă (pentru Cluj-Napoca 5 grade) între nordul geografic și nordul magnetic indicat de o busolă, deoarece polul magnetic nu se găsește la polul nord geografic, ci undeva în largul coastelor canadiene. Așadar, în ceea ce privește cadranele solare, nu este indicat să se stabilească nordul cu busola. Metoda recomandată este cea solară, prin care se fixează în teren direcția umbrei pentru o tijă verticală în clipa culminației solare superioare. Momentul este specific unei anumite zile și unui anumit loc, dar se poate afla ușor din diverse programe de calcul disponibile pe Internet.

Momentul amiezii (culminația solară superioară) la Cluj-Napoca (sursa).
Între ultima duminică din martie și ultima duminică din octombrie
se va adăuga o oră la timpii din tabel.

Alternativ, se poate proceda ca în vechime: mai întâi se trasează o serie de cercuri concentrice în jurul tijei verticale, apoi în cursul unei zile însorite se stabilesc punctele de intersecție ale vârfului umbrei cu un cerc liber ales, nu contează care. Vor exista mereu două puncte de intersecție pentru fiecare cerc: unul dimineață (1), celălalt după-amiaza (2). Bisectoarea unghiului rezultat ce are vârful în centrul cercului va da în teren direcția nordului geografic.

Există însă și o altă metodă, mai neobișnuită și interesantă, pe care am găsit-o descrisă în cartea lui Franz Embacher, "Sonnenuhren leicht gemacht" ("Cadrane solare pe înțelesul tuturor"). Ea se bazează pe poziția Stelei Polare, care, după cum probabil știți, ocupă un rol preferențial pe bolta cerească. Dacă axa de rotație terestră ar avea o componentă materială, ea ar înțepa cerul aproape exact în punctul ocupat în prezent de Polaris - Steaua Polară (în treacăt fie zis, dacă Polaris se află deasupra polului nord terestru, înseamnă ca înălțimea stelei deasupra orizontului exprimată în grade va fi egală cu latitudinea locului de observații). Distanța unghiulară dintre Polaris și polul nord ceresc se modifică încet, dar perceptibil odată cu trecerea veacurilor; de exemplu, pe vremea ridicării piramidelor egiptene, rolul de marcator al polului nord ceresc nu îi revenea lui Polaris, ci stelei Thuban din constelația Dragonul.

Metoda de stabilire a nordului geografic și poziției tijei (gnomonului) după Steaua Polară comportă următorii pași. Mai întâi se stabilește punctul în care tija urmează a fi ancorată de perete (M). Apoi, într-o noapte senină se caută Steaua Polară, astrul principal din Carul Mic, prelungind de cinci ori linia de legătură dintre ultimele două stele din Carul Mare, pe partea în care se găsește osia. Apoi, de la o distanță suficientă față de perete, se iluminează discret punctul de prindere și, închizând un ochi, se găsește poziția potrivită din care se poate acoperi în același timp atât Steaua Polară cât și punctul M cu un fir cu plumb ținut în dreptul lor (pentru asta ne putem ajuta de un trepied). Se marchează în teren punctul de sub plumb. Linia de legatură spre punctul F de sub M va da direcția nordului geografic și implicit planul vertical în care va fi amplasată tija cadranului solar (gnomonul), care se va ridica în acest plan din punctul M cu valoarea unghiului de co-latitudine (90-latitudine) față de verticală. De dragul preciziei, trebuie spus că Steaua Polară nu se află exact pe direcția polului nord ceresc, ci la aproximativ trei sferturi de grad distanță, adică ceva mai mult decât diametrul aparent de pe cer al Lunii Pline. Această eroare poate fi totuși eliminată cu ușurință dacă măsurătoarea se efectuează atunci când steaua Kochab se află pe aceeași linie verticală cu Polaris, fie deasupra fie dedesubtul ei. În acel moment Steaua Polară se află exact deasupra nordului geografic, în planul meridianului locului. Alinierea cu Kochab se poate observa cel mai bine iarna. Regula este valabilă pentru următoarele decenii.

Alinierea Polaris-Kochab. După Franz Embacher.