Analema lui Vitruviu (II)

Analema lui Vitruviu construită pentru Cluj-Napoca

Din figura geometrică a lui Vitruviu prezentată în articolul anterior putem extrage câteva elemente astronomice importante.

I) Construcția unei linii meridian pentru ora amiezii, având o componentă de calendar solar pentru solstiții și echinocții

În primul rând, triunghiul ABC, în care AB joacă rolul unui gnomon înfipt vertical în B, codifică principalele elemente de localizare geografică. Astfel, unghiul <BAC reflectă latitudinea locului, iar unghiul complementar <ACB  înălțimea ecuatorului ceresc NF deasupra orizontului. Să ne amintim apoi că cercul mare reprezintă o secțiune de-a lungul meridianului locului, cu E la sudul și I la nordul geografic, iar corzile paralele LG și KT sunt de fapt proiecțiile în plan pentru tropicul racului, respectiv a capricornului, hotare unde astrul zilei atinge declinația maximă pozitivă, respectiv negativă din an față de ecuatorul ceresc (<LAN=<KAN=circa 24 grade). Cu alte cuvinte, soarele se va găsi la solstițiul de vară pe direcția AL, iar la cel de iarnă pe AK. Lungimea umbrei gnomonului la aceste două momente transpare în desen prin segmentele BR, respectiv BT, în vreme ce la echinocții, când soarele se găsește în planul ecuatorului ceresc AN, lungimea umbrei va fi egală cu BC. Să reținem un lucru important și anume că aceste lungimi sunt valabile doar la momentul culiminației solare superioare (amiază), pentru că figura noastră redă o secțiune meridională (planul nord-sud). Avem aici toate elemente necesare realizării unei linii meridian tip calendar solar, o categorie aparte de cadran solar, în care direcția nord-sud geografică a umbrei marchează amiaza, iar variația ei în lungime măsoară curgerea anuală a timpului prin raportare la principalele evenimente astronomice solare din an: sostițiile și echinocțiile. Ca o paranteză, asemenea linii meridiane au fost propuse a se construi în cetatea Oradea de către regretatul prof. Marin-Dacian Bica și la Alba Iulia de către mine, ambele localități având un trecut important în ceea ce privește istoria astronomiei în România. Realizarea acestor piese nu ar trebui să pună probleme tehnice deosebite.

II) Construcția unei linii meridian pentru ora amiezii, având o componentă de calendar solar pentru orice zi din an

Mai sus am văzut cazul unei linii meridiane pe care sunt marcate momentele solstițiilor și echinocțiilor pe baza înălțimii variabile a soarelui deasupra orizontului la amiazi (de fapt, a variației sale anuale de declinație între -23,4 grade și + 23,4 grade deasupra ecuatorului), fapt ce dă naștere la umbre cu lungimi diferite în cursul anului. Cum ar trebui însă procedat pentru a marca pe linia meridiană intrarea soarelui în anumite zodii sau fixarea în timp a unei anumite date calendaristice importante din an (de exemplu o sărbătoare sau ziua cuiva de naștere) pe baza lungimii umbrei? Ne vom folosi pentru asta de cercul cercul lunilor botezat menaeus, pe care vom construi roata zodiilor. Vom împărţi circumferinţa în 12 felii egale corespunzătoare zodiilor din an, pornind de la solstițiul de vară G sau cel de iarnă H, cunoscând faptul că în acele zile soarele intră în zodia Rac (22 iunie), respectiv Capricorn (22 decembrie). Sensul în care parcurgem cercul pentru a face aceste însemnări nu contează; el poate fi orar sau antiorar.

Acum să presupunem că vrem să aflăm lungimea umbrei la amiaza zilei de 20 februarie, la intrarea soarelui în zodia Pești. Din punctul ce marchează pe menaeus începutul zodiei respective vom duce o perpendiculară pe axa lumii PQ (altfel spus o paralelă la ecuatorul ceresc), iar punctul de intersecție obținut pe cercul meridian îl vom proiecta pe suprafața orizontală prin A, găsind astfel lungimea căutată a umbrei prin măsurare din B. Din desen mai observăm un lucru important: pentru fiecare zi din an există o zi-pereche, în care soarele revine la aceeași declinație și umbra capătă aceeași lungime. Așadar, pe linia noastră meridiană intrarea în zodia Pești (februarie/martie) de exemplu va coincide cu intrarea în zodia Scorpion (octombrie/noiembrie), deși ele se află la 3-4 luni distanță în calendar.

Iată un exemplu de linie meridiană cu zodii aflată în interiorul Domului din Milano (Italia). Ea constă dintr-o inserție de cupru încastrată în pardoseala edificiului. La momentul amiezii, pe această linie se proiectează un spot luminos care ia naștere din pătrunderea razelor solare printr-un orificiu situat pe peretele din spate, undeva la înălțime. Cele două placi de marmură albă prevăzute cu pictograme marchează locul intrării spotului luminos (deci și a soarelui) în zodiile Berbec și Balanță.

Linia meridiană de la Domul din Milano, Italia

Cunscând că zodiile se întind pe 30 grade și durează circa 30 de zile fiecare, putem aproxima că soarele avansează zilnic pe roata zodiilor cu circa un grad.  De exemplu, poziția pentru 1 februarie ar corespunde unui punct pe cerc decalat înspre Vărsător cu 20 de grade față de începutul Peștilor. Această observație ne permite să stabilim cu bună aproximație lungimea umbrei pentru orice zi din an.

III) Construcția unui cadran solar pentru toate orele zilei, având și o componentă de calendar solar pentru solstiții și echinocții

Înainte să descoperim modul în care analema vitruviană poate fi folosită în alcătuirea unui cadran solar care să indice toate orele zilei, trebuie să precizăm că la un asemenea tip constructiv timpul se citește prin poziția vârfului umbrei și nu prin direcția sa.

Să ne reamintim acum funcțiunea semicercurilor LG și KT, cu centre în M, respectiv O, și raze egale ML=OK. Vitruviu le numește hemicyclium aestivum, respectiv hemicyclium hibernum. Primul, semicercul de vară, reprezintă abia jumătate din traseul diurn al soarelui la solstițiul de vară, celălalt, semicercul de iarnă, jumătate din traseul soarelui la solstițiul de iarnă (12 ore din cele 24 cât are o zi). O parte din călătoria soarelui (orele de zi) se va desfășura deasupra orizontului (linia EI), iar o altă parte (orele de noapte) sub orizont. Răsăritul și apusul soarelui vor constitui punctele de demarcație între aceste două perioade.

Imaginați-vă acum că ridicați semicercurile LG și KT din planul hârtiei și că le aduceți într-un plan perpendicular pe acesta. Ele vor intersecta planul orizontului EI în două linii, la capătul cărora pe orizont se vor afla punctele de răsărit și apus. Pentru a determina pozițiile lor pe semicercurile diurne vom duce așadar perpendiculare pe LG și KT în S, respectiv V, obținând punctele de intersecție S', respectiv V'. Interpretarea desenului obținut mai jos este următoarea:
-la solstițiul de vară, pentru jumătate de zi, adică jumătatea intervalului dintre culminația solară superioară L și cea inferioară G, soarele răsărind/apunând în S va descrie deasupra orizontului arcul LS' (ziua) și sub orizont arcul S'G (noaptea).
-la solstițiul de iarnă, pentru jumătate de zi, adică jumătatea intervalului dintre culminația solară superioară K și cea inferioară T, soarele răsărind/apunând în V va descrie deasupra orizontului arcul KV' (ziua) și sub orizont arcul V'T (noaptea).

Pentru a găsi poziția ocupată de soare la fiecare oră pe aceste două semicercuri le vom împărți în 12 arce egale, corespunzătoarele orelor timpului solar, în care soarele culminează mereu la 12. Atenție așadar, aceste poziții nu vor coincide cu orele legale indicate de ceasul comun! Să mai observăm că pozițiile S' și V' nu au nimic în comun cu punctele celor 12 diviziuni deși pentru cazul studiat de noi ele se nimeresc să fie foarte apropiate.

O mică paranteză. Mai sus am desenat doar semicercurile pentru solstiții, dar trebuie spus că putem reprezenta traseul solar pentru orice zi din an ajutându-ne de menaeus (vezi explicațiile de la punctul II). Iată de exemplu semicercul diurn pentru 20 februarie, la intrarea soarelui în zodia Pești. Arcul va avea centrul în punctul X și raza egală cu XY.

După cum spuneam mai sus, din analemă se pot extrage fără dificultate toate elementele necesare realizării unei linii meridian: ştim că direcția umbrei la amiază urmează linia nord-sud EI, iar lungimea ei o putem prelua din desen în funcție de anotimpuri. O astfel de linie meridiană poate măsura numai ora amiezii, dar dacă, de pildă, se dorește realizarea unui cadran solar orizontal cu gnomon perpendicular care să indice întregul evantai orar al zilei de la răsărit și până la apus, provocarea nu va mai fi atât de simplă. Căci pe lângă lungimea umbrei la amiază vom avea nevoie și de cea pentru restul orelor, ba chiar mai mult: va trebui să le cunoaștem și direcția. Lungimea umbrei va depinde de înălțimea soarelui deasupra orizontului, iar direcția de azimutul soarelui la ora respectivă. Vom împărți așadar problema în cele două componente urmând să le rezolvăm pas cu pas.

A) Stabilirea lungimii umbrei la alte ore din zi decât amiaza

Am văzut deja că lungimea umbrei la amiaza solstițiului de vară este egală cu segmentul BT. Să presupunem acum că ne interesează lungimea umbrei nu la amiază, ci cu patru ore înainte de acest moment (ora 8 timp solar adevărat). Mai întâi vom număra de la amiaza L 4 din cele 12 puncte echidistante pe semicercul diurn LG găsind astfel punctul orar 8. Pentru determinarea umbrei este necesar să efectuăm două proiecții în plan. Mai întâi vom aduce punctul 8 de pe arcul diurn în planul hârtiei trasând perpendiculara 8 8' pe coarda LG. Apoi, întrucât analema permite stabilirea lungimii umbrelor doar pentru poziții solare aflate în planul meridian, va trebui să găsim pe cerc punctul aflat la aceeași înălțime deasupra orizontului ca 8'. Pentru asta vom trasa din 8' o paralelă cu orizontul EI intersectând cercul meridian în 8''. În final vom uni acest punct cu vârful gnomonului A pentru a simula o rază luminoasă. Intersecția ei cu suprafața orizontală ne va da lungimea căutată pentru umbra orei 8. Același rezultat l-am obține și pentru ora 16, adică cu patru ore după momentul amiezii, deoarece pozițiile lor sunt dispuse simetric în jurul mijlocului zilei.

B) Stabilirea direcției umbrei la alte ore din zi decât amiaza

Chiar dacă transformările noastre geometrice din pasul A au adus ora 8 în planul meridianului pentru a ne putea dezvălui lungimea umbrei, ele nu ne spun nimic despre direcția spre care indică umbra. Aceasta poate fi îndreptată deocamdată oriunde, având vârful pe un cerc al posibilităților cu raza B8''' în jurul bazei B. În desenul următor am translatat B în B' pentru claritate. Construcția ajutătoare de sub cercul meridian prezintă o vedere de sus a cadranului, cu gnomonul așezat în B'. Pentru a rezolva problema direcției umbrei vom duce o dreaptă din 8' prin vârful gnomonului A. Intersecția ei cu suprafața orizontală, translatată în desenul ajutător relevă cele două puncte-candidat de pe cercul posibilităților în care umbra se poate afla la ora 8. Alegerea unuia sau altuia depinde de punctele cardinale și de orientarea desenului. Nordul fiind în dreapta și soarele găsindu-se dimineața înspre est (jos) vom alege punctul dinspre vest (sus) pentru că umbra indică mereu în direcția opusă soarelui.

Prin descompunere pe lungime și direcție, procedăm la fel pentru toate orele zilei-lumină (adică toate cele aflate pe arc deasupra răsăritului S', respectiv V') atât la solstițiul de vară cât și la cel de iarnă, după care unim punctele orare obținute în fiecare caz. Pentru simplitate noi am exclus din desen orele extreme, în care umbra devine oricum difuză. Cele două curbe rezultate, denumite solstițiala de vară (aestiva) și solstițiala de iarnă (brumalis) reprezintă de fapt traseul umbrei în zilele de solstițiu. Solstiţiala de vară va avea partea concavă orientată spre baza gnomonului, solstiţiala de iarnă pe cea convexă. Pentru echinocții, când soarele se află pe ecuatorul ceresc, se observă că descompunerea pe direcție a oricărui punct orar se suprapune tot peste ecuatorul ceresc, deci vârful umbrei va rămâne mereu pe linia coborâtă din C numită echinocțială (aequinoctialis). Aceste linii de marcaj sezonier mai poartă numele de menstre. În cazul nostru am ales sa avem doar trei, dar cadranele mai complexe pot cuprinde menstre pentru toate cele 12 zodii sau chiar pentru zile-cheie (vezi punctul II).

Pentru a finaliza faţa cadranului, unim orele de pe cele două solstițiale prin linii. Intersecția lor cu echinocțiala dezvăluie poziția vârfului umbrei pentru fiecare oră în zilele de echinocții, de fapt, pentru orice zi intermediară din an. Am obținut un cadran solar tip pelekinon care seamănă cu o secure dublă.

Acum nu avem decât să amplasăm în centrul cercurilor un gnomon vertical tip tijă având aceeași înălțime ca segmentul AB din analemă (în cazul de față 16 cm) și să îl testăm.

În simulare se poate observa că vârful umbrei nu atinge perfect curbele solstițiale. Care e motivul? Să ne amintim că la construcția analemei am lucrat cu valoarea vitruviană rotunjită pentru înclinația axei terestre (24 grade vs. 23,4 grade), adică am supraestimat înălțimea soarelui vara și am subestimat-o iarna cu ceva mai mult de un diametru solar (0,6 grade). În schimb problema nu apare la echinocții, atunci când declinația solară se anulează.

Închei acest material cam lung cu fotografia unui pelekinon modern spectaculos din regiunea germană Ruhr, pe care l-am vizitat anul trecut. Cadranul solar respectiv are 62 m diametru și este înzestrat cu un obelisc de oțel de 8,5 m înălțime.

Cadranul solar tip pelekinon de la Halda Hoheward (Ruhr, Germania)

Analema lui Vitruviu (I)

Analema lui Vitruviu desenată pentru Cluj-Napoca

Principala sursă de informație în ceea ce privește istoria și construcția cadranelor solare antice o constituie opera De architectura (Despre arhitectură) a lui Vitruviu (80/70 î.Hr-15 î.Hr.), mai exact cartea a IX-a, unde găsim o interesantă digresiune astronomică. Ne va interesa în mod special capitolul al VII-lea, intitulat "Despre traseul analemei". Ce este o analemă? Pe astronomii contemporani, fie ei amatori sau profesioniști, termenul îi duce cu gândul la diagrama în formă de 8 care le arată cât de mult se abate soarele adevărat de soarele mediu fictiv în decursul unui an. Fenomenul poate fi pus în evidență cu un aparat fotografic îndreptat spre sud cu care se expune câte un clișeu în fiecare zi, de exemplu la ora 12:00, observând schimbările zilnice de poziție ale astrului luminos. Un asemenea experiment fotografic interesant a fost realizat anii trecuți la Cluj-Napoca în premieră de către Pál Váradi Nagy. Sensul analemei lui Vitruviu se apropie însă mai mult de cel al unei leme matematice: un adevăr cunoscut ce reprezintă abia un pas intermediar în demonstrarea unui adevăr de mai largă circulație (teoremă) sau, în cazul nostru, o unealtă în vederea construirii cadranelor solare. Vom cita în continuare întreg capitolul relevant din traducerea românească a lui G.M. Cantacuzino, G. Ionescu și T. Costa, publicată în 1964, la care am adăugat propriile note explicative și grafice. Fragmentul începe la pag. 376 și continuă până la pag. 378.

Capitolul a VII-lea

Despre traseul analemei

"Lăsând deoparte considerațiile pe care le-am enunțat în capitolul precedent, să explicăm acum de ce se scurtează zilele după luni și modul cum le putem determina durata. În timpul echinocțiului, când Soarele se mișcă în Berbec și Cumpăna, dacă gnomonul e împărțit în nouă părți, sub înclinarea pe care o are cerul la Roma, sub efectul razelor soarelui el face o umbră egală cu 8 părți. În același timp, la Atena, umbra este mare cât trei din patru părți ale gnomonului; la Rodos, 5 din 7; la Tarent, 9 din 11; la Alexandria, 3 din 5. Și în toate celelalte locuri, umbrele echinoxiale ale gnomoanelor se află a fi lăsate de natură fiecare cu altă măsură."

Vitruviu folosește raportul dintre lungimea umbrei și lungimea gnomonului (vergelei) la amiaza echinocțiilor pentru a ilustra diferența de latitudine între localități, cunoscut fiind faptul că un ceas solar fixează din punct de vedere constructiv unele elemente specifice latitudinii pentru care a fost conceput. Nouă însă ne e mai la îndemână să lucrăm cu grade latitudine și vom lua ca exemplu cazul municipiul Cluj-Napoca, situat la 46,77 grade nord față de ecuator. Cunoscând faptul că la echinocții soarele se află pe ecuatorul ceresc, iar acesta are la Cluj-Napoca înclinarea complementară de 90-46,77=43,23 grade față de orizontală, întrebarea este care raport dintre lungimea umbrei și lungimea gnomonului exprimă suficient de bine acest loc? După câteva încercări am găsit că raportul 17:16 se apropie destul bine de valoarea cotangentei lui 43,23, cu alte cuvinte pentru o vergea verticală de 16 cm înălțime lungimea umbrei la amiaza echinocțiilor va atinge 17 cm la Cluj-Napoca. În text Vitruviu operează cu valorile pentru Roma, dar noi vom folosi în continuare valorile pentru orașul nostru, adaptând instrucțiunile și construind astfel analema vitruviană pentru Cluj-Napoca.

"Așadar, în orice loc unde trebuie trasat un orologiu, trebuie luată acolo umbra echinoxială și, dacă sunt, ca la <Cluj-Napoca>, <șaisprezece> părți de gnomon și <șaptesprezece> de umbră, să se traseze o linie de pământ și, din mijlocul ei, să se ridice o vergea verticală, care e numită gnomon. Apoi, pornind de la linia de pământ, să se măsoare pe linia gnomonului, cu compasul <șaisprezece> părți și în locul în care se va găsi semnul părții a <șaisprezecea> să se stabilească un centru, acolo unde va fi litera A. Mai departe, deschizând compasul de la acest centru și până la linia pământului, unde va fi litera B, să se descrie o circumferință de cerc, care e numită meridiană."

Cercul va reprezenta în desen secțiunea meridianului locului (direcția nord-sud) văzută din lateral.

"Apoi, din cele <șaisprezece> părți care sunt de la linia de pământ până la centrul gnomonului, să se ia <17>, însemnându-le pe linia de pământ unde va fi litera C. Aceasta va fi umbra echinoxială a gnomonului. De la acest semn și literă C, prin centru, unde e litera A, să se tragă o linie. Aceasta este raza echinoxială a Soarelui."

Raza echinoxială (sau echinocțială) a soarelui o identificăm azi cu planul ecuatorului ceresc, adică prelungirea pe bolta cerească a planului ecuatorului terestru. Raza echinoxială o putem privi ca fenomen luminos și ca element geometric.

"Atunci, cu o deschidere de compas egală cu distanța de la centru până la linia pământului, să se determine o linie de echidistanță unde va fi litera E în partea stângă și I în partea dreaptă, pe linia circumferinței. Ea trebuie trasată prin centru, pentru ca circumferința să fie împărțită în două semicercuri egale. Linia aceasta e numită de matematicieni Orizont."

Orizontul desenat pe hârtie este planul orizontului văzut din lateral.

"Apoi, din circumferința întreagă se ia a 15-a parte și așezând un vârf de compas pe linia de circumferință a locului în care raza echinoxială taie această linie, unde va fi litera F, să se facă semne în dreapta și în stânga, unde sunt literele G și H."

A cincisprezecea parte de cerc (360/15=24) corespunde valorii rotunjite pentru înclinarea axei terestre sau oblicitatea eclipticii, adică unghiul dintre planul sistemului solar și planul ecuatorului terestru (valoarea mai apropiată pentru epoca noastră este 23,4 grade). Filmulețul de mai jos prezintă de la minutul 1:51 modul în care cercul se poate împărți în 15 părți egale folosind doar o riglă și un compas.

"Apoi, plecând din centrul A să se tragă prin aceste puncte două linii, prelungindu-le până la linia de pământ, unde vor fi literele R și T. Acestea vor fi razele soarelui: una de iarnă, cealaltă de vară. În fața lui E va fi litera I, unde circumferința e tăiată de linia care trece prin centrul liniei orizontului. Opuse literelor G și H vor fi K și L, iar opuse literelor C și F și A va fi litera N."

"Din G la L și din H la K să se traseze două transversale. Cea de deasupra se află în partea Verii, cea de dedesubt a Iernii. Aceste transversale trebuie să fie împărțite în două părți egale, unde vor fi literele O și M, Acolo se vor însemna centre. Și, trecând prin aceste semne și prin centrul A, să se ducă o linie până unde se va intersecta cu circumferința, unde se vor pune litere Q și P. Această linie va fi perpendiculară pe raza echinoxială și, după terminologia matematică, ea poartă numele de axa lumii."

Axa lumii reprezintă axa terestră, în jurul căreia pare să se rotească întreaga sferă cerească, când, de fapt, cu toții știm că Pământul este cel care se rotește. Adevărul heliocentric interesează aici mai puțin deoarece urmărim în primul rând efectul perceput de observator.

"Din cele două centre O și M, cu o deschidere de compas întinsă până la extremitățile transversalelor LG și KH, să se descrie două semicercuri. Unul din ele va fi cel de vară, celălalt cel de iarnă."

Rostul acestor două semicercuri este poate cel mai greu de înțeles din toată construcția geometrică, dar, dacă ne imaginăm desenul în 3D, cercul fiind bolta cerească văzută din lateral, cu sudul în stânga, nordul in dreapta și privrea dinspre est spre vest, atunci pe această sferă cele două semicercuri ridicate din planul hârtiei într-un plan perpendicular pe ea vor reprezenta jumătate de traseu solar (cealaltă jumătate aflându-se în planul îndepărtat), unul vara (superior) celălalt iarna (inferior). Traseul solar cuprinde o parte de zi în care astrul se ridică deasupra orizontului și o parte de noapte în care acesta este invizibil, coborând sub orizont. Se poate astfel observa ușor că vara soarele petrece mai mult timp deasupra orizontului EI și iarna mai puțin.

"În locurile unde liniile paralele (cele două transversale) taie linia numită Orizont, în partea dreaptă va fi litera S, în stânga V."

În desen linia EI fiind de fapt planul orizontului, intersecțiile cu aceasta a diametrelor semi-arcurilor în S și V vor reprezenta punctele de răsărit/apus ale soarelui la solstițiul de vară, respectiv solstițiul de iarnă.

"Și de la litera G o linie paralelă cu axa se va duce până la extremitatea din dreapta a semicercului, unde va fi litera H. Această linie paralelă e numită locothomus. Apoi, cu piciorul compasului așezat în locul unde raza echinoxială taie această linie GH, unde va fi litera D, să se traseze - cu o rază egală cu distanța de la litera D, unde e centrul echinoxial, până unde raza de vară taie circumferința, unde e litera H - o circumferință care va fi cercul lunilor, numit Menaeus."

Dacă cercul mai mic, botezat Menaeus (atenție, cu centrul în D și nu în F ca cercul ajutător desenat anterior), se împarte în 12, iar părțile obținute sunt marcate succesiv cu semnele zodiilor începând cu Racul în G sau Capricornul în H (direcția nu contează), se obține cercul zodiacal complet. La ce ajută acesta vom vedea într-un material viitor. Pe scurt, Menaeus-ul ne va permite stabilirea înălțimii soarelui și deci și a lungimii umbrelor la mijlocul oricărei zile alese din an, după poziționarea punctului pe cerc în cadrul intervalului zodiei.

"Astfel se face traseul analemei. Acestea fiind astfel trasate și explicate, cu ajutorul liniilor de vară sau de iarnă sau de echinox sau chiar de luni, după ipoteze, se va determina raportul orelor, prin traseuri după analemă. Se introduc aci ca ipoteze și multele varietăți și feluri de orologii și pentru toate cadranele se trasează după aceste procedee ingenioase. Într-adevăr, scopul tuturor figurilor și traseelor este același, ca ziua echinoxială sau cea mai scurtă sau cea a solstițiului să fie împărțită deopotrivă în douăsprezece părți egale. Peste aceste lucruri însă am trecut, dar nu împiedicat de lene, ci ca să nu plictisesc, scriind prea multe."

Vedem așadar că tratamentul lui Vitruviu este incomplet, el nu duce "demonstrația" până la capăt, nu prezintă concret modul de lucru prin care analema era folosită în construcția cadranelor solare, de frică să nu plictisească. Putem astfel intui că respectivele informații erau deja arhi-cunoscute cititorilor săi. În decursul timpului au existat mai multe propuneri de a completa informațiile lipsă ale lui Vitruviu în scopul realizării unui cadran solar, iar într-un articol viitor ne propunem să ilustrăm una dintre aceste metode.

Articol în BSS Bulletin despre un cadran solar redescoperit lângă Brașov

Buletinul BSS (British Sundial Society) este o publicație periodică editată de Societatea Britanică pentru Cadrane Solare. Sunt bucuros că în numărul din decembrie 2015 cititorii vor găsi articolul meu despre redescoperirea unui ceas solar analematic care, din ceea ce știm noi, este primul cu această formă constructivă realizat în România. El a fost amenajat la începutul anilor '90 lângă Săcele, în jud. Brașov, de către o echipă de voluntari britanici. Articolul meu intitulat "A Transylvanian Analemmatic Sundial Revisited" a fost scris în urma unei vizite la Centrul de Reabilitare Școlară Brădet în cursul lunii iunie 2015. În material relatez pe scurt istoricul și funcțiunea acestui cadran solar și modul în care a fost redescoperit după mai bine de 20 de ani, prezentând totodată fotografii cu starea sa precară actuală.

Catalogul cadranelor solare cu tun meridian

Pe site-ul Asociación Amigos de los Relojes de Sol AARS (Asociația Prietenii cadranelor solare, Spania) a fost publicată ultima versiune din lucrarea lui Pedro Novella despre cadranele solare cu tun meridian. Documentul PDF în trei părți reprezintă cea mai completă inventariere a acestor piese la nivel mondial. România este reprezentată în vol. III de către vechiul tun meridian (azi dispărut) de pe Dealul Mitropoliei din București, dar și de piesele existente încă la Muzeul Ceasului "Nicolae Simache" din Ploiești și la Muzeul Științei și Tehnicii "Ștefan Procopiu" din Iași.

Fadensonnen. Despre linia meridiană de la Observatorul Batthyany.

"Fadensonnen
über der grauschwarzen Ödnis.
Ein baum-
hoher Gedanke
greift sich den Lichtton: es sind
noch Lieder zu singen jenseits
der Menschen."

Paul Celan - Fadensonnen 

Digresiunea noastră astronomico-literară de azi va aminti pe scurt despre istoria observatorului astronomic din Alba Iulia, atingând și soarta unei cărți de astronomie apărute acolo, pentru care oferim în premieră o nouă interpretare. Totodată, vom vedea ce legătură există între cadranul solar filiform îngropat sub podeaua aceluiași observator și poezia ermetică din anii '60 a scriitorului suprarealist Paul Celan, născut în România și decedat în condiții misterioase la Paris.

După cum arătam într-un articol precedent, anul 1794 a marcat un moment important pentru istoria astronomiei ardelene, deoarece atunci s-a înființat la Alba Iulia unul dintre cele mai importante observatoare astronomice din Europa de Est, la inițiativa lui Ignac Batthyany. În singura publicație a observatorului, un volum de 424 pagini intitulat "Initia Astronomica (...)" (1798), Antonius Martonfi - cel dintâi astronom de aici - descria construcția și dotările lăcașului știintific, adesea considerat (în mod eronat) primul din Ardeal. Vara aceasta, în timp ce răsfoiam cataloagele tradiționale digitizate ale Bibliotecii Centrale Universitare din Cluj-Napoca în căutarea unor publicații vechi de astronomie, am dat din pură întâmplare peste fișa cărții lui Martonfi. Ea era strecurată în mod greșit, voit sau nu, la altă literă, fiind astfel aproape imposibil de găsit.

Fișa cărții Initia astronomica de la BCU Cluj

Nu mică mi-a fost mirarea să aflu că vechiul volum, a cărui cotă fusese rătăcită și despre care citisem atâtea cuvinte de laudă, dorind mult să-l răsfoiesc, era dat dispărut. Cum se poate, m-am întrebat, ca o asemenea lucrare valoroasă să dispară pur și simplu fără urmă de pe rafturile celei mai mari biblioteci clujene? Să fie de vină tentația unor câștiguri bănești? Exemplarele din această carte se vând pe Internet cu circa 250 $, o sumă frumușică, dar totuși modestă în comparație cu alte comori literare (Gnomonica fundamentalis a lui Penther, deși departe de a fi o comoară, ar fi valorat cu 100$ mai mult... dar e mai bine să nu dăm idei). Fotografia de mai jos cu o copie a lucrării de la Alba Iulia aparține unui e-comerciant de peste hotare.

Exemplar din Initia astronomica scos la vânzare pe Internet. Sursa.

Deși nu am reușit să identific vreo copie scanată la alte biblioteci din străinătate, am izbutit totuși să găsesc conținutul cărții prezentat pe scurt într-o recenzie publicată în volumul al treilea din sinteza Allgemeine geographische Ephemeriden (Efemeride geografice generale), una dintre primele reviste germane de specialitate, apărută în 1799 sub îngrijirea astronomului austro-ungar Franz Xaver von Zach. Articolul m-a surprins prin tonul său deosebit de critic la ceea ce până nu demult consideram a fi o adevărată performanță transilvăneană în domeniul cercetării astronomice. În schimb, nici vorbă de asta! Aveam să aflu că în ciuda eforturilor "ctitorului" Batthyany, care asigurase instituției și o publicitate deosebită în mediile europene, observatorul din Alba Iulia fusese clădit fără cap și că astronomului-șef Martonfi (student al lui Maximilian Hell) i-ar fi lipsit înțelegerea și priceperea necesare pentru a utiliza baza materială existentă. Ba mai mult, Initia astronomica ar fi fost scrisă într-o latină provincială de baltă, în cazul unor paragrafe necesitând chiar și trei lecturi succesive pentru a înțelege textul cât de cât. În articol, recenzorul anonim austriac (?) deplânge lipsa unor informații de bază cu privire la amplasarea observatorului, cum ar fi longitudinea, și pune la îndoială corectitudinea măsurătorilor de latitudine. De asemenea, el consideră de neînțeles motivul amenajării observatorului la etajele superioare ale clădirii, chiar deasupra unui atelier de tipografie ale cărui vibrații trebuie că stânjeneau activitatea de observare a aștrilor. Când vine vorba de înzestrarea tehnică, recenzorul este de părere că s-a pus accent mai mult pe cantitate decât pe calitate, unele instrumente fiind simple jucării fără rost, opinând că în aceiași bani s-ar fi putut face cu mult mai mult. Martonfi era de asemenea învinuit de folosirea unor tehnici înapoiate (chiar și cu cincizeci de ani) și că nu este la curent cu nivelul de dezvoltare al astronomiei din vest. De exemplu, puținele sale observații sunt datate în timp solar adevărat, în vreme ce colegii săi francezi sau englezi se raportau deja la timpul solar mediu, sau că acesta se bazează exclusiv pe metoda sateliților lui Jupiter în stabilirea longitudinii, deși s-a arătat că ea prezintă numeroase erori ș.a.m.d.

Acestea sunt doar câteva dintre acuzațiile și reproșurile aduse bietului Martonfi, toată cavalcada întinzându-se pe cuprinsul a 11 pagini, fiind bine punctată și cu informații de natură mai tehnică; nu am să vă obosesc cu ele aici, ci las plăcerea specialiștilor să le descopere pe cont propriu. În schimb, printre rânduri am descoperit o informație de maxim interes pentru pasionatul de cadrane solare, și anume faptul că la vechiul observator astronomic din Alba Iulia existaseră pe vremuri două gnomoane, unul simplu și unul filar (gnomon filaris, gnomon filair, meridienne filaire). Fotografia de mai jos, primită de la prof. Volker Wollmann, stă mărturie asupra faptului că cel puțin o parte din acest dispozitiv se mai păstrează și azi. În schimb, pe baza informațiilor disponibile nu mă pot pronunța dacă el mai funcționează sau nu. Este vorba despre un cablu care traversează camera de observații de la sud spre nord printr-un canal îngropat în pardoseala de lemn, fiind mascat de o trapă. Cablul întins este ridicat apoi prin peretele nordic, ajunge la un scripete și iarăși coboară, terminându-se cu o contragreutate vizibilă în poză.

Gnomonul filar de la Batthyaneum (Alba Iulia). Foto Volker Wollmann.

Un instrument similar există la Praga, în Turnul astronomic din Clementinum (îi mulțumesc lui Roger Bailey pentru informație).

Gnomon filar de la Turnul astronomic din Praga.
Sursa. 

Gnomonul filar de la Alba Iulia este, după cunoștințele mele, singurul de acest tip din România. El reprezintă o formă de cadran solar de precizie și funcționează astfel: o rază de lumină pătrunde printr-un orificiu îngust într-o cameră în care există un cablu întins în planul meridianului, astfel încât centrul fasciculului de lumină cade pe acesta exact în momentul culminației superioare solare (amiază). În spatele cablului se așează o bucată de hârtie sau placaj alb pe care se poate vizualiza atât umbra firului cât și mișcarea discului solar, după principiul unei camere obscure. Se determină timpii de contact cu umbra firului pentru marginea din dreapta, respectiv stânga a spotului luminos, din care se extrage informația pentru centru. Prin acest procedeu se poate stabili cu mare precizie momentul amiezii (eroare de secundă). Se pare că gnomonul filar a fost descris pentru prima dată de fizicianul german Christian Gottlieb Kratzenstein în 1782, deci cu numai 12 ani înainte de amenajarea observatorului batthyanyan. Cititorul curios poate găsi o descriere mai detaliată a acestui instrument în lucrarea lui Augustin Stark intitulată "Beschreibung der meteorologischen Instrumente" (Descrierea instrumentelor meteorologice", 1815). Reproducem mai jos schema relevantă din Tab. V (click pentru mărire).

Schema unui gnomon filar. După Augustin Stark.

Lumina pătrunde în cameră printr-o perforație de circa 2 mm diametru prevăzută în placa metalică din dreapta imaginii, amplasată la o fereastră sudică și orientată în plan ecuatorial. De ea se fixează și cablul meridian care traversează încăperea spre nord și de care se suspendă apoi unul sau mai multe fire de plumb, capetele cărora se cufundă în recipiente cu apă pentru a conferi stabilitate la curenți de aer sau vibrații. Firele verticale se vor afla mereu în același plan, în mod ideal cel al meridianului, umbra lor fiind folosită la alinierea azimutală a cablului meridian prin intermediului șurubului din colțul stânga-sus al imaginii. Vedem că, spre deosebire de piesele din Alba Iulia și Praga, gnomonul filar descris în cartea lui Stark are cablul meridian întins pe tavan și nu sub podea. Vom mai remarca aici faptul că umbra firului întins iese în evidență pe ecranul de proiecție doar în clipa amiezii astronomice, grație contrastului puternic între întuneric și lumină, în toate celelalte momente el rămânând invizibil pe fundalul gri-difuz. Această constatare va ușura trecerea spre partea finală a digresiunii noastre, în care vom prezenta poate cea mai ciudată poezie care a avut, probabil, drept inspirație un asemenea cadran solar filiform.

Paul Celan recitând Fadensonnen. Sursa.

"Fadensonnen" ("Sori de fire") a fost scrisă sub pseudonimul literar Paul Celan de către un român născut la Cernăuți pe nume Paul Antschel, cu doar câțiva ani înainte ca acesta să se arunce în Sena la Paris, găsindu-și moartea. Cele mai multe din operele sale au fost scrise în germană, cum este și cazul celei de față. În lipsa unei traduceri oficiale mă voi încumeta la o traducere proprie a versurilor:

"Sori de fire
deasupra pustiului gri-negricios
Un copac -
gând înalt
apucă sonorul luminii: mai sunt
cântece de cântat dincolo
de oameni."

Substantivul compus "Fadensonnen" / "Sori de fire" este probabil metafora-cheie a întregului poem. Pentru Paul Celan, poetul tenebrelor, alegerea unui instrument solar drept inspirație lirică poate părea surprinzătoare. Și totuși, criticii literari au arătat că termenul reprezintă un sinonim pentru gnomonul filar întâlnit în literatura științifică veche. Pustiul gri vine în completarea imaginii unor raze solare ce pătrund filiform printre nori și luminează selectiv peisajul, dar care în mare măsură rămâne inert. Totuși, o parte din lumină e capturată de copacul care, ridicându-se în văzduh, leagă nu numai cerul de pământ, ci și lumina de întuneric, ca expresie a celor mai înalte năzuințe. În încheiere, vedem că dincolo de cotidianul cenușiu persistă numai frumusețea naturii.

Construcția matematică a cadranelor solare orizontale și verticale

După ce într-un articol precedent am detaliat o metodă grafică veche de desenare a cadranelor solare, în continuare vom prezenta varianta matematică de construire a linilor orare pentru cadranele verticale cu expunere sudică (declinaţie 0 a peretelui) și orizontale, care măsoară timpul solar al localității în care sunt amplasate, adică vechiul timp bazat pe culminația soarelui, folosit înaintea standardizării orare. Formula de calcul pe care o deducem mai jos ne va da pentru fiecare oră măsura unghiului său cu verticala locului (ora XII) sau direcția nord-sud.

Fie un perete perete vertical orientat exact spre punctul cardinal sud, cu AC direcția tijei indicatoare (gnomonul) care coincide cu orientarea axei terestre. Normala dusă din B pe AC marchează în D centrul pentru un cerc ecuatorial ajutător, paralel cu ecuatorul terestru, construit perpendicular pe AC. În decursul unei zile, soarele va descrie între răsărit şi apus un semicerc aparent în jurul acestei axe, umbra sa evoluând în contrapartidă pe cadranul ecuatorial cu 15 grade pe oră (24 ore x 15 grade = 360 grade). Folosindu-ne de triunghiurile dreptunghice BDC, ADB, DBE, CBE, respectiv ABE, vom exprima pe rând unghiul orar vertical (uv) și unghiul orar orizontal (uo) în funcție de latitudinea locului (lat) și de măsura cunoscută a unghiului orar de pe cadranul ecuatorial (ue). Aceasta va căpăta valoarea 0 grade la amiază (XII), când soarele se înalță deasupra punctului sudic A și umbra tijei AC se aliniază cu planul meridianului ABC, 15 grade o oră mai târziu și mai devreme față de amiază (I și XI), 30 de grade două ore mai târziu sau mai devreme față de amiază (II și X) etc. Similar, pe cerc jumătățile de oră corespund la 7,5 grade, sferturile  la 3,75 grade ș.a.m.d.

1) Pentru orele cadranului solar vertical

În triunghiul dreptunghic BDC avem:
sin DCB=BD/BC
BD=BC*sin DCB
Cunoscând că suma unghiurilor dintr-un triunghi este 180 de grade putem scrie:
BD=BC*sin (90- lat)
Iar din formula sin (X-Y)=sin X*cos Y-cos X*sin Y rezultă că:
BD=BC*cos lat

În triunghiul dreptunghic DBE avem:
tan ue=BE/BD
BE=BD*tan ue

În triunghiul dreptunghic CBE avem:
tan uv = BE/BC
Înlocuind BE cu relația obținută din triunghiul DBE:
tan uv = BD*tan ue / BC
Înlocuind BD cu relația obținută din triunghiul BDC:
tan uv = BC*cos lat * tan ue / BC

Formula de calcul pentru orele cadranului solar vertical este așadar
tan uv = cos lat * tan ue

Adică tangenta fiecărui unghi orar de pe cadranul vertical este proporțională cu cosinusul latitudinii și cu tangenta unghiului orar ecuatorial aferent. 

2) Pentru orele cadranului solar orizontal

În triunghiul dreptunghic ADB avem:
sin lat=BD/AB
BD=AB*sin lat

În triunghiul dreptunghic DBE avem:
tan ue=BE/BD
BE=BD*tan ue

În triunghiul dreptunghic ABE avem:
tan uo = BE / AB
Înlocuind BE cu relația obținută din triunghiul DBE:
tan uo = BD * tan ue / AB
Înlocuind BD cu relația obținută din triunghiul ADB:
tan uo = AB * sin lat / AB

Formula de calcul pentru orele cadranului solar orizontal este așadar
tan uo = sin lat * tan ue

Adică tangenta fiecărui unghi orar de pe cadranul orizontal este proporțională cu sinusul latitudinii și cu tangenta unghiului orar ecuatorial aferent. 

Folosind aceste formule, am sintetizat în tabelul de mai jos unghiurile orare pentru un cadran vertical sudic şi unul orizontal, amândouă măsurând timpul solar în Cluj-Napoca. Dedesubt găsiţi şi interpretarea grafică pentru varianta verticală (formula este valabilă doar în cazul unui perete orientat pe direcţia est-vest). 

Unghiurile orare pentru Cluj-Napoca (timp solar al localității)

Transpunere grafică a orelor unui cadran solar vertical sudic
ce măsoară timpul solar al localității Cluj-Napoca

Fiecărui cadran solar vertical îi corespunde unul orizontal la antipod, respectiv fiecărui cadran solar orizontal îi corespunde unul vertical la antipod, legătura dintre ele regăsindu-se în relaţia sinus-cosinus din formule.

Corespondența dintre cadranele solare orizontale și verticale pe globul terestru.
Tijele lor păstrează mereu orientarea polară.

Timpul afişat de cadranele astfel construite se va deosebi fundamental de timpul indicat de ceasurile moderne. Pentru a ne apropia mai mult de orele ceasului modern, putem marca pe cadrane timpul solar al fusului orar standard în locul timpului solar propriu al localității, iar în acest caz diferența dintre ceas și cadran se va reduce la valoarea ecuației timpului pentru acea dată (cu excepția orei de vară). Fusul orar standard se raportează la culminația solară pentru un anumit meridian de referință, în cazul timpului est-european fiind vorba despre meridianul de 30 grade longitudine estică, care trece pe deasupra Mării Negre în apropiere de Sulina. Așadar, cadranul nostru va trebui să reflecte timpul solar al respectivului meridian. Diferența matematică între longitudinea meridianului de referință și longitudinea meridianului locului va fi încorporată în desenul cadranului solar sub forma unei așa-numite corecții de longitudine, o rotire a planului ABC de-a lungul laturii AC spre stânga sau spre dreapta, depinzând de faptul dacă localitatea se află spre vestul sau spre estul meridianului de referință. Toate localitățile românești sunt la vest, în cazul Clujului diferența fiind de 6,5 grade. Deci planul va fi rotit cu 6,5 grade spre stânga pentru că amiaza solară locală este întârziată față de cea a meridianului de referință. 

Iată cum se prezintă tabelul unghiurilor orare la cadranele verticale sudice şi orizontale ajustate la timpul solar al fusului est-european, dacă ținem cont de corecția de longitudine pentru Cluj-Napoca.

Unghiurile orare pentru Cluj-Napoca (timp solar al fusului orar).

Longitudinea si Referința sunt aici negative pentru a evidenția poziția estică față de meridianul Greenwich. Ne imaginăm că linia orei 12 de pe cercul ecuatorial se rotește spre stânga verticalei (vechea oră XII a timpului solar local) cu 6,5 grade, iar celelalte repere de pe coloana ue se calculeaza prin raportare la unghiul noii ore 12 (standardul fusului) adunând sau scăzând câte 15 grade în cascadă la fiecare pas. Mai departe, uv și uo se calculează prin formulele deja cunoscute. 

Ploști țărănești cu motive solare

PLÓSCĂ, ploști, s. f. 1. Vas de lemn, de lut ars, de metal sau de piele, cu capacitate mică, rotund și turtit, cu gâtul scurt și strâmt, în care se ține băutură și care se poartă atârnat de o curea (DEX 2009)

Am primit de la Damaschin "ceva pentru suflet și zile ploioase": poze cu motive solare pe ploști țărănești. Vă invit să le admirați în continuare.

În alta ordine de idei, pe lângă cele două materiale din Bistrițeanul (1, 2) și o mențiune la radio, a apărut recent și un articol în Adevărul despre ceasul solar înclinat a lui Damaschin. În curând vă voi prezenta aici și noul său proiect: cadranele solare gemene de pe str. Zorilor (ce nume predestinat!).