Construcția matematică a cadranelor solare orizontale și verticale

După ce într-un articol precedent am detaliat o metodă grafică veche de desenare a cadranelor solare, în continuare vom prezenta varianta matematică de construire a linilor orare pentru cadranele verticale cu expunere sudică (declinaţie 0 a peretelui) și orizontale, care măsoară timpul solar al localității în care sunt amplasate, adică vechiul timp bazat pe culminația soarelui, folosit înaintea standardizării orare. Formula de calcul pe care o deducem mai jos ne va da pentru fiecare oră măsura unghiului său cu verticala locului (ora XII) sau direcția nord-sud.

Fie un perete perete vertical orientat exact spre punctul cardinal sud, cu AC direcția tijei indicatoare (gnomonul) care coincide cu orientarea axei terestre. Normala dusă din B pe AC marchează în D centrul pentru un cerc ecuatorial ajutător, paralel cu ecuatorul terestru, construit perpendicular pe AC. În decursul unei zile, soarele va descrie între răsărit şi apus un semicerc aparent în jurul acestei axe, umbra sa evoluând în contrapartidă pe cadranul ecuatorial cu 15 grade pe oră (24 ore x 15 grade = 360 grade). Folosindu-ne de triunghiurile dreptunghice BDC, ADB, DBE, CBE, respectiv ABE, vom exprima pe rând unghiul orar vertical (uv) și unghiul orar orizontal (uo) în funcție de latitudinea locului (lat) și de măsura cunoscută a unghiului orar de pe cadranul ecuatorial (ue). Aceasta va căpăta valoarea 0 grade la amiază (XII), când soarele se înalță deasupra punctului sudic A și umbra tijei AC se aliniază cu planul meridianului ABC, 15 grade o oră mai târziu și mai devreme față de amiază (I și XI), 30 de grade două ore mai târziu sau mai devreme față de amiază (II și X) etc. Similar, pe cerc jumătățile de oră corespund la 7,5 grade, sferturile  la 3,75 grade ș.a.m.d.

1) Pentru orele cadranului solar vertical

În triunghiul dreptunghic BDC avem:
sin DCB=BD/BC
BD=BC*sin DCB
Cunoscând că suma unghiurilor dintr-un triunghi este 180 de grade putem scrie:
BD=BC*sin (90- lat)
Iar din formula sin (X-Y)=sin X*cos Y-cos X*sin Y rezultă că:
BD=BC*cos lat

În triunghiul dreptunghic DBE avem:
tan ue=BE/BD
BE=BD*tan ue

În triunghiul dreptunghic CBE avem:
tan uv = BE/BC
Înlocuind BE cu relația obținută din triunghiul DBE:
tan uv = BD*tan ue / BC
Înlocuind BD cu relația obținută din triunghiul BDC:
tan uv = BC*cos lat * tan ue / BC

Formula de calcul pentru orele cadranului solar vertical este așadar
tan uv = cos lat * tan ue

Adică tangenta fiecărui unghi orar de pe cadranul vertical este proporțională cu cosinusul latitudinii și cu tangenta unghiului orar ecuatorial aferent. 

2) Pentru orele cadranului solar orizontal

În triunghiul dreptunghic ADB avem:
sin lat=BD/AB
BD=AB*sin lat

În triunghiul dreptunghic DBE avem:
tan ue=BE/BD
BE=BD*tan ue

În triunghiul dreptunghic ABE avem:
tan uo = BE / AB
Înlocuind BE cu relația obținută din triunghiul DBE:
tan uo = BD * tan ue / AB
Înlocuind BD cu relația obținută din triunghiul ADB:
tan uo = AB * sin lat / AB

Formula de calcul pentru orele cadranului solar orizontal este așadar
tan uo = sin lat * tan ue

Adică tangenta fiecărui unghi orar de pe cadranul orizontal este proporțională cu sinusul latitudinii și cu tangenta unghiului orar ecuatorial aferent. 

Folosind aceste formule, am sintetizat în tabelul de mai jos unghiurile orare pentru un cadran vertical sudic şi unul orizontal, amândouă măsurând timpul solar în Cluj-Napoca. Dedesubt găsiţi şi interpretarea grafică pentru varianta verticală (formula este valabilă doar în cazul unui perete orientat pe direcţia est-vest). 

Unghiurile orare pentru Cluj-Napoca (timp solar al localității)

Transpunere grafică a orelor unui cadran solar vertical sudic
ce măsoară timpul solar al localității Cluj-Napoca

Fiecărui cadran solar vertical îi corespunde unul orizontal la antipod, respectiv fiecărui cadran solar orizontal îi corespunde unul vertical la antipod, legătura dintre ele regăsindu-se în relaţia sinus-cosinus din formule.

Corespondența dintre cadranele solare orizontale și verticale pe globul terestru.
Tijele lor păstrează mereu orientarea polară.

Timpul afişat de cadranele astfel construite se va deosebi fundamental de timpul indicat de ceasurile moderne. Pentru a ne apropia mai mult de orele ceasului modern, putem marca pe cadrane timpul solar al fusului orar standard în locul timpului solar propriu al localității, iar în acest caz diferența dintre ceas și cadran se va reduce la valoarea ecuației timpului pentru acea dată (cu excepția orei de vară). Fusul orar standard se raportează la culminația solară pentru un anumit meridian de referință, în cazul timpului est-european fiind vorba despre meridianul de 30 grade longitudine estică, care trece pe deasupra Mării Negre în apropiere de Sulina. Așadar, cadranul nostru va trebui să reflecte timpul solar al respectivului meridian. Diferența matematică între longitudinea meridianului de referință și longitudinea meridianului locului va fi încorporată în desenul cadranului solar sub forma unei așa-numite corecții de longitudine, o rotire a planului ABC de-a lungul laturii AC spre stânga sau spre dreapta, depinzând de faptul dacă localitatea se află spre vestul sau spre estul meridianului de referință. Toate localitățile românești sunt la vest, în cazul Clujului diferența fiind de 6,5 grade. Deci planul va fi rotit cu 6,5 grade spre stânga pentru că amiaza solară locală este întârziată față de cea a meridianului de referință. 

Iată cum se prezintă tabelul unghiurilor orare la cadranele verticale sudice şi orizontale ajustate la timpul solar al fusului est-european, dacă ținem cont de corecția de longitudine pentru Cluj-Napoca.

Unghiurile orare pentru Cluj-Napoca (timp solar al fusului orar).

Longitudinea si Referința sunt aici negative pentru a evidenția poziția estică față de meridianul Greenwich. Ne imaginăm că linia orei 12 de pe cercul ecuatorial se rotește spre stânga verticalei (vechea oră XII a timpului solar local) cu 6,5 grade, iar celelalte repere de pe coloana ue se calculeaza prin raportare la unghiul noii ore 12 (standardul fusului) adunând sau scăzând câte 15 grade în cascadă la fiecare pas. Mai departe, uv și uo se calculează prin formulele deja cunoscute.